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Italian Journal of Engineering Geology and Environment, 2 (2012)
© Sapienza Università Editrice
www.ijege.uniroma1.it
DOI: 10.4408/IJEGE.2012-02.O-02
l
oriS
COLOMBO
(*)
,
m
artino
CANTONE
(*)
,
l
uca
ALBERTI
(*)
&
v
incenzo
FRANCANI
(*)
(*)
Politecnico di Milano - D.I.I.A.R - Piazza Leonardo da Vinci, 32 - 20133 Milano, Italy. Tel ++39(2)23996664/3
E-mail: loris.colombo@polimi.it, martino.cantone@polimi.it, luca.alberti@polimi.it, vincenzo.francani@polimi.it
SOLUZIONI ANALITICHE PER LA DETERMINAZIONE DELLO SPARTIACqUE
PIEZOMETRICO DELLA ZONA DI CATTURA DI UNA BARRIERA DI POZZI
ANALYTICAL SOLUTIONS fOR MULTIWELL HYDRAULIC
BARRIER CAPTURE ZONE DEfINING
RIASSUNTO
Come noto, le barriere di pozzi spesso vengono sottodimensiona-
te, riducendone gravemente l’efficacia. E’ opportuno quindi disporre
di un metodo speditivo per delineare lo spartiacque piezometrico del-
la zona di cattura anche per geometrie non lineari dei pozzi, in modo
da favorire una efficace progettazione di questo importante strumento
operativo. Lo studio descrive un metodo analitico - grafico che può
essere usato per progettare una barriera le cui dimensioni (in parti-
colare l’ampiezza del fronte di richiamo all’altezza dei pozzi), siano
sufficienti per il contenimento dell’inquinante. La funzionalità del
metodo grafico è stata validata e supportata confrontando le curve di
cattura con un codice numerico esistente, quale Modflow.
P
arole
chiave
: barriere idrauliche, punti di stagnazione, fronte di cattura,
soluzioni analitiche, modellazione numerica
INTRODUZIONE
La progettazione di una barriera idraulica per il risanamento di un
acquifero deve tenere conto di diversi fattori affinché la sua resa sia
ottimale, ed esistono a tal proposito delle disposizioni e regolamenta-
zioni ben precise per il monitoraggio e le caratteristiche peculiari di
progetto (ad es. b
eretta
et alii, 1992 e 2003) .
J
avandel
(1986) propose un metodo di ottimizzazione che consi-
steva nell’intercettazione totale della massa inquinante senza estrarre
acqua non contaminata, mediante la disposizione geometrica lineare di
più pozzi, dimostrando così che possono esistere non solo delle distan-
ze ottimali fra i pozzi dell’allineamento ma anche che i fronti di cattura
aumentano sensibilmente all’aumentare del numero dei pozzi. La mo-
dellazione della zona di cattura, definita come l’area situata all’interno
dello spartiacque piezometrico che separa il flusso intercettato dalla
linea dei pozzi e quello che invece continua a fluire verso valle (S
Han
,
1999) dipende non solo dalla geometria ma anche dalla struttura idro-
geologica in cui la barriera viene inserita (t
umliSon
et alii, 2006).
La presente nota vuole, utilizzando un metodo analitico confrontato
e supportato da una modellazione numerica, mostrare come, disalline-
ando i pozzi, si abbia una sovrapposizione maggiore dei fronti singoli
di ciascun pozzo. A parità di portata Q estratta e a parità del fronte di
richiamo, si può ottenere una maggiore copertura con pozzi non allineati
ABSTRACT
As it is well-known, the groundwater wells are often incorrectly
located, reducing the hydraulic barrier effectiveness. A quick method
for delineating the capture curve also for non co-linear geometry of
a wells barrier is thus required. Therefore this paper deals with a non
linear location of wells, as a solution of this problem developing an
analytical-graphical method to design a barrier whose dimensions
(particularly the capture zone width near the wells) are fair sized
for the containment of pollution plumes. The suitability of graphical
method is validated and supported by a comparison between analyti-
cal computed curve capture and numerical one, as solutions reached
by Modflow code.
K
ey
word
: Analytical solutions, numerical modeling, stagnation points, cap-
ture curve
INTRODUCTION
The project of a co-linear extraction wells used to contain subsur-
face contaminant migration must consider several different variables
in order to have an optimal performance. For this purpose, there are
some relationships and standard operating procedures to well-define
the project characteristics and the monitoring activities (as an exam-
ple b
eretta
et alii. 1992, and Beretta et alii, 2003).
J
avandel
(1986) developed an optimization method of the spac-
ing between wells and of discharge rates, using pumping wells placed
on a line orthogonal to the regional flow. The Author calculated also
the shape of a capture curve, i.e. the line that includes the water flow-
ing into the well (S
Han
1999), that depends not only on the arrange-
ment of wells but also on the hydrogeological structure of the aquifer
where the wells are located (t
umliSon
et alii. 2006).
In this paper it is shown that, using an analytical method com-
pared with a numerical solution, with a non linear position of wells,
it can be obtained a greater superposition than a singular wells cap-
ture zones as shown by J
avandel
(1986). With the same pumping rate
Q and the same width of the flow cross-section F, it is possible to
protect a wider area with non-aligned wells. In general, numerical
methods are usually required to handle problems with complex con-
ditions such as heterogeneity, transient flow and a huge number of
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SOLUZIONI ANALITICHE PER LA DETERMINAZIONE DELLO SPARTIACqUE PIEZOMETRICO DELLA ZONA DI CATTURA DI UNA BARRIERA DI POZZI
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L. COLOMBO, M. CANTONE, L. ALBERTI & V. FRANCANI
wells (S
Hafer
1987; g
orelick
et alii. 1993) but they can estimate
the approximation of the capture zone, only increasing number of the
stream lines. They cannot compute immediately and directly nor stag-
nation points neither the capture curve of the extraction system (S
Han
1999); on the other hand by means of an analytical solution, handling
problems with simple conditions, it can output explicitly the shape of
capture curve and zero-velocity points (S
Han
1999).
The present paper is developed in a complex plane with a com-
plex potential (c
HriSt
& g
oltz
2002) providing a directly formula-
tion of the capture curve for any hydraulic arrangement of wells. At
the end a comparison between analytical and numerical method are
proposed, showing as the two solutions converge with small errors.
PREVIOUS STUDIES
Nowadays, the method of pump-and-treat systems is still one
of the most applied technology for groundwater remediation. b
ear
(1979) with a very simple relation for a singular well expresses po-
tential and flow rate that could be generated through superposition
of inclined aquifers and radial flow toward the wells. For this rea-
son J
avandel
& t
Sang
(1986) developed a “type” curves for multiple
wells extraction system oriented so that co-linear wells lie perpen-
dicular to regional flow. Then several researchers used complex po-
tential theory applying the superposition of effects. b
ear
& J
acobS
(1965) studied the movements of particles injected in the aquifer us-
ing a superposition complex effect; g
uadagnini
& f
ranzetti
(1994)
developed a probabilistic-analytical evaluation of the capture zone
that takes into account the heterogeneity of the aquifer and the time of
transfer of the contaminants. Indeed some relationship demonstrate
that probability of capturing solute is associated with each well loca-
tion in the aquifer. All these studies (e.g. c
HriSt
1999; S
Han
, 1999)
developed several models showing the importance of wells location.
c
HriSt
& g
oltz
(2002) determined an analytical method to capture
zones for a non co-linear system, showing that shifting a well down
gradient from the co-linear wells position, the stagnation point of the
capture curve moves in the same direction. Otherwise, when the well
is moved slightly up gradient, the wells capture zone divides vanish-
ing the effectiveness of a remediation containment system.
c
HriSt
& g
oltz
(2004) proposed a general formulation for a
multiple linear wells; also S
kvortSov
& S
uyucHeva
(2004) computed
a solution for a injection wells in a straight-parallel natural stream.
c
HunHui
l
u
et alii. (2009) showed an analysis of stagnation points
for a pumping well in recharging areas, demonstrating that a zero-
velocity point is function to a different extraction rate; as the infiltra-
lungo una retta rispetto alla disposizione teorica studiata da J
avandel
(1986). Gli studi eseguiti finora si basano su simulazioni numeriche, che
sono molto utili per determinare e studiare sistemi complessi che inclu-
dono eterogeneità, flusso non stazionario e un numero molto elevato di
pozzi (S
Hafer
, 1987; g
orelick
et alii, 1993); esse tuttavia sono in grado
di delineare la zona di cattura solamente incrementando di continuo il
numero delle linee di flusso. Non sempre permettono quindi di calcolare
immediatamente e speditivamente né i punti di stagnazione (b
ear
, 1979)
né le curve di cattura dell’intero sistema di estrazione (S
Han
, 1999). Si è
ritenuto utile impiegare inizialmente un approccio analitico, in quanto,
con condizioni idrogeologiche semplici, è possibile ottenere il calcolo
diretto della curva di cattura e dei punti a zero flusso (S
Han
, 1999). La
funzionalità di tale approccio è sottolineata da c
HriSt
& g
oltz
, 2002
che applicano al problema le soluzioni derivanti dalla teoria del poten-
ziale complesso, ed è stata ottenuta una formulazione diretta della curva
di cattura utile per la progettazione di una barriera idraulica di qualsiasi
forma geometrica. Successivamente lo studio ha proposto un confronto
tra la soluzione analitica e un modello numerico, mostrando come le due
soluzioni convergano con difformità molto contenute.
STUDI PRECEDENTI
L’impiego dei pozzi-barriera trova ampia applicazione per il risana-
mento degli acquiferi se collegato con impianti di depurazione (di tipo
Pump & treat). E’ quindi spiegabile la ricchezza della letteratura esistente
sulle differenti tecniche di calcolo per la delimitazione delle aree di cat-
tura. b
ear
(1979) prende in considerazione un acquifero omogeneo ed
isotropo per calcolare mediante semplici relazioni per un solo pozzo la
distribuzione del carico piezometrico nel caso di pozzo completamente
penetrante l’acquifero che preleva le sue acque da una falda uniforme-
mente inclinata. b
ear
(1979) ottiene in tal modo la relazione fra portata
estratta, trasmissività, gradiente idraulico e funzione che esprime l’anda-
mento dello spartiacque piezometrico della zona di cattura. Una tecnica
per delimitare la zona di cattura nel caso di più pozzi allineati di identica
portata è stata implementata da J
avandel
& t
Sang
(1984). Essi hanno svi-
luppato soluzioni per pozzi allineati a formare una barriera perpendicolare
al flusso di falda, indicando relazioni per individuare la distanza ottimale
fra i pozzi. L’esigenza però di conoscere in maniera semplice e rapida la
curva di cattura in fase preliminare di progetto ha fatto si che diversi autori
abbiano utilizzato la teoria del potenziale complesso e della sovrapposi-
zione degli effetti: b
ear
& J
acobS
(1965) hanno studiato il movimento dei
soluti nell’acquifero utilizzando il metodo di sovrapposizione degli effetti
nel campo complesso, e importanti miglioramenti sono stati apportati da
g
uadagnini
& f
ranzetti
(1994), con lo sviluppo di un modello analitico-
probabilistico di ricostruzione dell’area di cattura di un pozzo che tiene
conto delle eterogeneità dell’acquifero e del tempo di trasferimento dei
contaminanti. Particolare attenzione è stata dedicata al problema di rico-
struzione dell’area di cattura di più pozzi, con un progressivo migliora-
mento dei risultati. S
Han
(1999) ha presentato una soluzione analitica per
la zona di cattura limitatamente a due pozzi con geometria non lineare,
mostrando l’importanza della posizione dei pozzi. c
HriSt
& g
oltz
(2002)
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ANALYTICAL SOLUTIONS fOR MULTIWELL HYDRAULIC BARRIER CAPTURE ZONE DEfINING
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Italian Journal of Engineering Geology and Environment, 2 (2012)
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hanno dimostrato analiticamente la flessibilità di un sistema non lineare,
dimostrando come spostando un pozzo dalla posizione allineata dei pozzi
nella stessa direzione del flusso della falda, i punti di stagnazione della
zona di cattura risultano spostati più a valle rispetto una configurazione li-
neare. Successivamente (c
HriSt
& g
oltz
, 2004) i medesimi Autori hanno
proposto una formulazione generale di risoluzione per N pozzi disposti in
maniera lineare e adiacenti. Su questo stesso argomento anche S
kvortSov
& S
uyucHeva
(2004) hanno approfondito alcuni concetti, ad esempio de-
finendo soluzioni per N sorgenti disposte a 180° rispetto il flusso di falda.
Infine c
HunHui
l
u
et alii, (2009) hanno presentato un metodo analitico
per lo studio dei punti di stagnazione anche in presenza di ricarica, dimo-
strando come ciascun pozzo abbia diversi punti a zero flusso in funzio-
ne della portata estratta; dal momento che l’infiltrazione risulta essere in
eccedenza per fornire l’estrazione al pozzo, essa provoca la separazione
delle linee di flusso al di fuori della zona di ricarica.
Al fine di proseguire la ricerca impostata da questi Autori, che si
propongono di individuare relazioni analitiche utili a definire l’anda-
mento della zona di cattura di più pozzi e la loro disposizione ottimale
ai fini di garantire la migliore efficienza della barriera, si è voluto
dimostrare come sia possibile raggiungere questo obiettivo sulla base
delle seguenti premesse:
• utilizzando il metodo del potenziale complesso, per la sua versa-
tilità e semplicità nel poter ottenere punti di stagnazione e curve
di cattura per un sistema a più pozzi (c
HriSt
& g
oltz
, 2004);
• modellando un numero elevato di pozzi tali da garantire un fronte
di cattura esteso, secondo la teoria di J
avandel
& t
Sang
(1984).
Nel presente lavoro sono stati considerate barriere di N = 5 pozzi;
• modellando disposizioni non lineari dei pozzi, spostandoli verso la
direzione del flusso per avere maggiore sovrapposizione come dimo-
strato nel lavoro di c
HriSt
& g
oltz
(2002) e mostrare curve di cattu-
ra a maggior favore di sicurezza per il contenimento degli inquinanti;
CALCOLO DEI PUNTI DI STAGNAZIONE E VALIDA-
ZIONE DEI RISULTATI CON IL MODELLO NUMERI-
CO MODfLOW
I punti di stagnazione si formano perché il vettore velocità della fal-
da U viene totalmente annullato dal richiamo della depressione piezo-
metrica k
J
; se avviene che U ha stessa direzione ma verso opposto a J il
punto di applicazione P dei vettori agenti è un punto di stagnazione (Fig.
1 in cui si vede il punto di applicazione P). Quando si hanno più pozzi si
ha la sovrapposizione delle depressioni piezometriche di ciascun pozzo,
che avviene quando si supera la E
eff
definita in seguito dalla (1.5).
Il vettore J opposto a U è la risultante della somma dei vettori
J’ e J” determinati dalla coppia di pozzi adiacenti che interagiscono.
Se J’ = J” = J, si ha un punto di stagnazione. E’ facile osservare che
avendo una velocità di falda U uniforme le condizioni per cui J’ e J”
sono uguali in modulo ma hanno verso opposto rispetto a U si hanno
solo lungo l’asse y. Se si indica con α, l’angolo tra il vettore J’ ed il
vettore J’’, come nella figura 1, si ha che J’ cos α = 0,5 U, dove 1/(ln
x’) cos α = 0,5 U; un valore identico si ha per J” cos α, e in tal modo
tion is overflowing for well extraction, it causes the separation on
flow lines out of the recharge area. The purpose of this paper is to find
a fast and simple solution:
• Using a complex potential theory for delineate a capture curve
for a multiple well system and for computing of stagnation points
(c
HriSt
& g
oltz
2004);
• Modeling a greater number of wells for having an extended cap-
ture zone, using J
avandel
& t
Sang
(1984) theory. In the present
work, the analysis is developed with 5 wells;
• Modeling non co-linear wells, moving them down gradient aqui-
fer to have as a result a superposition as showed in c
HriSt
&
g
oltz
(2002): moreover it can be shown that these capture curves
assure a more suitable polluted groundwater containment.
COMPUTATION AND VALIDATION Of STAGNA-
TION POINTS WITH ANALYTICAL AND NUMERI-
CAL MODEL
Stagnation points formation is due to the total cancellation of
groundwater flow U from the piezometric depression k
J
; if U has the
same direction but opposite side to J, the common application point
of the vectors is a stagnation point (Fig. 1, where it can be seen the
application point P). When there are many wells, a superposition
of piezometric depression of each well is possible only when E
eff
is
overtaken (see 1.5)
The vector J opposite to the velocity U is the sum of vectors J’ e
J’’ obtained by twice adjacent interacting wells. If J’ = J” = J, a stag-
nation point is formed. It’s easy to observe that if the velocity U is
uniform, the conditions ,as J’ and J” are similar in modulus but with
different direction opposite to U, are only long y axis. If α is the angle
between vector J’ and J’’, as shown in Fig.1, it can be obtained that J’
cos α = 0,5 U where 1/(ln x’) cos α = 0,5 U; a similar value is obtained
for J” cos α so that the sum gives U with opposite sign. It’ s normal
Fig. 1 - Formazione di un punto di stagnazione in una falda inclinata con
velocità uniforme U, P è il punto di applicazione dei vettori agenti,
J’ è il vettore di richiamo al pozzo in funzione, α è l’angolo tra il
vettore J’ ed il vettore J’’
- Formation of a stagnation point in a inclined groundwater with
velocity U uniform, P is the application point of vectors, J’ is the
vectors of the pumping well, α is the angle between J’ and J’’
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SOLUZIONI ANALITICHE PER LA DETERMINAZIONE DELLO SPARTIACqUE PIEZOMETRICO DELLA ZONA DI CATTURA DI UNA BARRIERA DI POZZI
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L. COLOMBO, M. CANTONE, L. ALBERTI & V. FRANCANI
la somma dà il valore di U con segno opposto.
Naturalmente esiste un solo valore di α che sia in grado di soddi-
sfare questi vincoli perché il valore di α è dato da : α = arc cos 0,5U. Il
valore di α è esattamente l’angolo di input dell’inclinazione del flusso
di falda rispetto l’asse x (Tab.1).
fORMULAZIONE DEL PROBLEMA: IL MODELLO
MATEMATICO IMPLEMENTATO
A partire dalle soluzioni presentate da e S
Han
(1999), c
HriSt
&
g
oltz
(2004), si è sviluppato un modello che tenesse conto sia di
un numero N ≥ 3, sia di pozzi posizionati in punti qualsiasi del pia-
no complesso (x, y). Per poter utilizzare tali modelli matematici, si
devono considerare alcune semplificazioni: l’acquifero è considerato
omogeneo, isotropo, confinato e con spessore B uniforme e velocità
di Darcy U costante. Il flusso è stazionario. Il potenziale complesso w
(J
avandel
& t
Sang
, 1984), dal momento che l’equazione di Laplace
risulta lineare, può essere espresso come sovrapposizione degli effetti
di un sistema formato da N pozzi ( di iniezione o di prelevamento) e
il flusso di fondo della falda. Si ha quindi
dove w è il potenziale complesso dell’intero sistema, U [m/s] è la velo-
cità di Darcy costante, α è l’angolo tra la direzione del flusso di falda e
l’asse delle x, B [m] è lo spessore dell’acquifero, Q
j
[m
3
/s] è il tasso di
estrazione del pozzo se ≥ 0, N il numero di pozzi considerati, z (z
=
x
+
iy)
la posizione nel piano complesso dove viene valutato il potenziale w, z
j
(z
j
=
aj
±
ib
j
la coordinata del pozzo j nel piano complesso (x, y)) in cui a [m]
e b [m] sono le coordinate dei pozzi nel piano complesso x,y, i
=
√-1, C
è una costante di integrazione che dipende dalle condizioni al contorno.
Il potenziale complesso w può essere diviso in una parte reale ed
in una parte immaginaria; la parte reale Φ rappresenta le linee equi-
potenziali di uguale carico ed è espressa dalla seguente
La parte immaginaria Ψ rappresenta la funzione del flusso,
Per arrivare al calcolo esplicito della curva di cattura, si deve pre-
liminarmente valutare la funzione di flusso al punto di ristagno, cor-
rispondente a velocità nulla. Il punto di ristagno può essere calcolato
(c
HriSt
& g
oltz
, 2002) derivando nel campo complesso il potenziale
that a unique α value is obtained. It’ s the only value that can satisfy
constraint as the fact that α is α = arc cos 0,5U. The value is the input
angle showed in Table 1, as flow direction.
THE fORMULATION Of PROBLEM: MATHEMATI-
CAL DERIVATION fOR A MULTIPLE WELLS LINE-
AR BARRIER
From the solution presented by S
Han
(1999), c
HriSt
& g
oltz
(2004), a model considering both a number of wells N ≥ 3 and a loca-
tion in any points of complex plane (x, y) has been developed. Any
simplifications of the model must be assumed: an homogeneous iso-
tropic confined aquifer, with uniform thickness B and constant Darcy
velocity U. Also, a steady state groundwater flow is considered. The
complex potential w (J
avandel
& t
Sang
, 1984), due to the linearity of
Laplace’s formula, can be expressed as a superposition of piezometric
effects of pumping in several wells (injecting or extracting) and of the
uniform flow. The following (1.1) shows that:
where w is the complex potential of the overall system, U [m/s] is the
Darcian velocity of uniform regional flow, α [-] is the angle between
the regional flow direction and the x-axis, B [m] is the aquifer thick-
ness, Q
j
[m
3
/s] is the extraction rate of well if ≥ 0, N is the number
of wells, z (z
=
x
+
iy) is the coordinate in the complex plane where is
evaluated the potential w, z
j
(z
j
=
aj
±
ib
j
, the well coordinate j in the
complex plane (x, y) where a [m] e b[m] are the coordinates of the
wells in the complex plane, i
=
√-1, C is a constraint.
The complex potential w may be separated into two parts; the real
part Φ which represents the constant head lines
Instead, the imaginary part Ψ represents stream function,
In order to calculate the capture curve, the stream function at a
stagnation point, where velocity is zero must be evaluated at first. The
stagnation point can be computed (c
HriSt
et alii 2002) deriving of w
in respect to z and setting it equal to zero.
(1.2)
(1.1)
(1.3)
Tab. 1 - Parametri di progetto di diverse barriere idrauliche: a è l’interdistanza
in metri lungo l’asse x tra i pozzi, b è la coordinata y in metri dei pozzi
rispetto l’origine degli assi, Q (l/s) è la portata estratta da ciascun pozzo.
- Parameters of different hydraulic barriers : a is the distance along x
axis between wells in meters, b is the y-coordinate in meters of well,
Q (l/s) is the extraction rate of each well
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ANALYTICAL SOLUTIONS fOR MULTIWELL HYDRAULIC BARRIER CAPTURE ZONE DEfINING
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w rispetto a z e ponendo l’espressione ottenuta pari a 0.
Le componenti x, y delle radici z
j
che soddisfano alla (1.4), rappre-
sentano le coordinate di stagnazione nel piano reale (x
s
, y
s
). I punti di
stagnazione o a zero flusso sono molto importanti per l’analisi delle
zone di cattura per le barriere idrauliche e sono il punto di partenza per
il calcolo della funzione di cattura della barriera idraulica. L’espressione
(1.4) è una funzione di grado N, dove N è il numero di pozzi considerati
nello studio. c
HriSt
& g
oltz
(2002), hanno presentato una equazione
per N pozzi disposti sull’asse reale x del piano x, y. Per ciascun pozzo,
si ha un punto di stagnazione corrispondente direttamente posto a valle
rispetto la provenienza del flusso di falda. La risoluzione con N ≥ 4 può
essere eseguita solamente con metodi numerici come Newton-Raphson
(p
reSS
et alii, 1992; c
HriSt
et alii, 1999). Ogni punto di stagnazione
dipende dal raggio di influenza fittizio della barriera la cui espressione
risulta essere dipendente dalle caratteristiche idrogeologiche dell’acqui-
fero (trasmissività T [m
2
/s], gradiente idraulico j[-], spessore B[m], e
permeabilità k[m/s],) e dall’ampiezza del fronte di richiamo E [m]
La probabile depressione si ha quando i due pozzi adiacenti sovrap-
pongono una parte della depressione efficace in rapporto alla cadente
piezometrica. Solamente quando la portata dei pozzi raggiunge un valo-
re per il quale le singole depressioni superano il diametro E
eff
(e quindi
una identica reciproca distanza), vi è possibilità di formazione di una de-
pressione piezometrica che veda sommarsi gli effetti di due pozzi vicini.
Una volta noti i punti di stagnazione, si può sviluppare un’equa-
zione che descriva analiticamente la geometria della curva di cattura.
b
ear
(1972) definisce la zona di cattura come quella particolare linea di
flusso pari ad una costante che passa attraverso il punto di stagnazione.
È possibile così valutare la costante mediante la (1.3) sostituendo
(x
s
, y
s
) per ogni pozzo presente nella barriera. La curva di cattura del
pozzo j-esimo può essere rappresentata dalla seguente espressione:
La (1.5b) può essere esplicitamente risolta in y, come funzione
di x. Generalmente, però, è opportuno utilizzare il metodo Newton -
Rapshon per ottenere le coordinate della curva di cattura.
LE DIffERENTI DISPOSIZIONI SPAZIALI DEI POZZI
Già l’analisi svolta da c
HriSt
& g
oltz
, (2004) mostra come la po-
sizione dei pozzi abbia un importante e significativo impatto su come
contenere l’ inquinante. La posizione dei pozzi è determinante per ave-
The x, y components of z
j
that satisfy (1.4), represent the stagna-
tion coordinates on the real plane (x
s
, y
s
). The stagnation points are
very important for the multiple wells capture zone analysis: they are
the incoming for computing the function of capture.
The (1.4) is N
th
order polynomial, where N is the number of wells
computed in this work. c
HriSt
and
g
oltz
(2002) showed an equation
for N wells situated on the real x axis of the plane x, y. The solution
for N ≥ 4 can be found using numerical methods such as Newton-
Raphson (p
reSS
et alii 1992; c
HriSt
et alii 1999).
Each stagnation point depends on fictitious radius of the barrier
which is expressed in function of hydrogeological parameters of the
aquifer (trasmissivity T [m
2
/s], hydraulic gradient j [-], thickness
B [m], hydraulic conductivity k [m/s]) and E[m] the amplitude of
capture curve of the well
The depression cone is formed when two adjacent wells over-
lap part of effective depression in relation to piezometric gradient.
Only when Q rate reaches a value so high that singular depressions
overcome the E
eff
diameter (and so, a same mutual distance) there
is a possibility that a piezometric depression sum of two adjacent
wells is formed.
When the stagnation points are computed in function of R0, an
equation that describes analytically the geometry of curve can be de-
veloped. b
ear
(1972) defined capture zone as that particular stream-
line which passes through one stagnation point.
So it is possible to evaluate the constant value with (1.3) replac-
ing (x
s
, y
s
) for each well situated in the multiple line. The capture
curve of the j-th well; therefore it is proposed this solution of the
problem of defining the capture curve:
The previous (1.5b) can be solved in y as function of x. Generally,
the Newton-Rapshon method to compute the coordinates of capture
zone gives the better solutions. Knowing the value of one coordinate,
usually x, the second one can be obtained by means of (1.5).
DIffERENT SPATIAL ARRANGEMENT Of WELLS
The work developed by c
HriSt
& g
oltz
(2004) shows as the loca-
tion of wells has an important impact on containment of pollution plume.
The arrangement of wells is crucial to have a better superposition and
(1.4)
(1.5)
(1.5a)
(1.5b)
background image
SOLUZIONI ANALITICHE PER LA DETERMINAZIONE DELLO SPARTIACqUE PIEZOMETRICO DELLA ZONA DI CATTURA DI UNA BARRIERA DI POZZI
22
L. COLOMBO, M. CANTONE, L. ALBERTI & V. FRANCANI
re una sovrapposizione migliore degli effetti e avere quindi un fronte di
cattura ampio tale da poter contenere interamente l’eventuale deflusso.
I parametri di progetto della barriera sono stati fatti variare per
ottenere la conformazione geometrica migliore; sia le distanze tra
pozzi lungo le ascisse x e le ordinate y, sia le portate dei pozzi sono
state variate, ottenendo così differenti geometrie dello spartiacque
piezometrico che sono stati confrontati poi con il modello numerico
Modflow. Nella tabella 1 seguente sono elencate le diverse geometrie
assunte nello studio e le diverse portate di progetto.
have a capture zone necessary to contain the contaminant plume in situ.
In order to demonstrate this statement, the parameters of wells
system model have been varied to obtain the best geometrical posi-
tion of wells.
The distance between wells along x and y and the extraction rates
have been changed to compute different simulation. The output has
been compared with the results of a numerical model as Modflow. In
table 1, the different geometries analyzed in this paper and different
extraction rate are shown.
Fig. 2 - Configurazione 1: pozzi barriera disposti linear-
mente lungo l’asse delle x e rispettivi fronti di ri-
chiamo (b
ear
, 1979); [A (0,0); B (30,0); C (60,0);
D (-30,0); E (-60,0)]
- Arrangement 1: a barrier wells located in a co-line-
ar situation and drawing of fronts (b
ear
, 1979) with
a=30 m and b=0 m; [A (0,0); B (30,0); C (60,0); D
(-30,0); E (-60,0)]
Fig. 3 - Configurazione 2: pozzi barriera disposti a “ M”
e rispettivi fronti di richiamo . Le zone tratteggia-
te indicano una lieve sovrapposizione dei fron-
ti (b
ear
, 1979); [A (0,0); B (30,5); C (60,0); D
(-30,5); E (-60,0]
- Arrangement 2: a barrier wells located in a “M”
non co-linear situation and drawing of fronts. Small
superposition of groundwater divide (b
ear
, 1979)
with a =30 m and b=5 m; [A (0,0); B (30,5); C
(60,0); D (-30,5); E (-60,0)]
background image
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23
Italian Journal of Engineering Geology and Environment, 2 (2012)
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I parametri che riguardano l’assetto idrogeologico della falda og-
getto dello studio sono supposti invece costanti ed il regime staziona-
rio. Si veda a tal proposito la Tabella 2.
CALCOLO CON METODO ANALITICO
Utilizzando i parametri geometrici e idrogeologici (Tab. 2), si
possono ottenere diversi raggi di influenza della barriera (Tab. 3).
Dividendo per U (velocità di Darcy) la formula (1.4) per introdur-
re il raggio di influenza R
0
[m] nel calcolo dei punti di stagnazione si
ottiene l’espressione seguente, avendo introdotto opportunamente le
coordinate dei singoli pozzi appartenenti alla barriera (a,b)
The aquifer hydrogeological parameters are considered constant
during all elaborations, and the flow is always at steady-state. The
table 2 shows the input values for computing both stagnation points
and capture curve.
ANALYTICAL MODEL COMPUTATION
Using the geometric parameters and values listed in Table 2, the
different fictitious radii can be computed-(Tab. 3).
Dividing by Darcy velocity U the (1.4) and introducing the fic-
titious radius R
0
[m] for the compute of the stagnation points, the
potential function of geometry of co-linear wells can be obtained
as follow:
Fig. 4 - Configurazione 3: pozzi barriera disposti a “ M” e
rispettivi fronti di richiamo . Le zone tratteggiate in-
dicano una sovrapposizione dei fronti (b
ear
, 1979);
[A (0,0); B (30,15); C (60,0); D (-30,15); E (-60,0)]
- Arrangement 3: a barrier wells located a “M”
non co-linear situation and drawing of fronts.
Superposition of effects (b
ear
, 1979) with a =30
m and b=15 m; [A (0,0); B (30,15); C (60,0); D
(-30,15); E (-60,0)]
Tab. 2 - Parametri dell’acquifero studiato (K [m/s] è la permeabilità dell’acqui-
fero, U [m/s] è la velocità di Darcy, B [m] è lo spessore dell’acquifero
confinato, α [-] è la direzione del flusso rispetto l’asse reale x, J [-] è il
gradiente idraulico della falda inclinata, n (-) è la porosità
- Parameters of the aquifer (K [m/s] is the conductivity, U [m/s] is the
Darcy velocity, B [m] is the thickness of aquifer, α [-] is angle of flow
direction respect to x-axis, J [-] is the gradient of inclined groundwater,
n (-) is the porosity
Tab. 3 - Valori del raggio di influenza della barriera R
0
= 5Q/(2πUB) (m); esso risulta
essere 5 volte il raggio di influenza di un singolo pozzo a parità di portata Q
- Values of fictitious radius R
0
= 5Q/(2πUB) (m); it is 5 times greater than one of
singular well with the same rate Q
(1.6)
background image
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24
L. COLOMBO, M. CANTONE, L. ALBERTI & V. FRANCANI
Si ottiene dopo numerosi passaggi, la forma compatta dell’equa-
zione a zero flusso, le cui radici complesse z
j
rappresentano le coordi-
nate dei punti di stagnazione per ciascun pozzo della barriera.
Come si vede, è un’equazione di grado N = 5,
i cui coefficienti complessi sono:
Tali valori sono dipendenti dalla geometria della barriera (posi-
zione a,b di ogni singolo pozzo), dall’angolo del flusso di falda α e
dal raggio di influenza R
0
[m].
C
onfigurazione
1:
barriera
rettilinea
per
diverse
portate
di
emungimento
La figura 2 mostra la disposizione dei pozzi della barriera oggetto di
studio. Il flusso risulta diretto lungo l’asse y verso la sua direzione positiva
ed i pozzi risultano equidistanziati di 30 m (Tab. 1). In questa configura-
zione lineare, i coefficienti complessi precedentemente definiti diventano:
L’algoritmo implementato in Matlab permette di
• calcolare i coefficienti complessi noti i parametri geometrici e
idrogeologici di interesse (Tab. 1-2);
• ottenere i valori dei punti di stagnazione in funzione della R
0
[m]
implementando la formula (1.7) ( Tab. 4);
• ottenere i valori della funzione della curva di cattura (1.5b) da
interpolare;
La Tabella 4 mostra i punti di stagnazione calcolati per due diver-
se portate unitarie Q = 2[l/s] e Q = 7 [l/s] come mostrate in Tab. 3.
C
onfigurazione
2-3:
barriera
a
“m”
per
diverse
portate
di
emungimento
Si è voluto studiare quale possa essere il miglioramento di cattura
di una barriera, spostando i due pozzi B e D lungo l’asse delle y,
prima di soli 5 m (configurazione 2) poi di 15 m. Il calcolo dei punti
The zero-flow equation can be obtained. The z
j
complex roots that
reset the (1.7) are the stagnation points of each well. The (1.7) is a N
th
roots =
5 polynomial
The complex coefficients are:
These values depends on geometry of wells location, groundwa-
ter flow direction and fictitious radius R
0
[m].
a
rrangement
1:
Co
-
linear
wells
for
different
extraCtion
rate
Q
Figure 2 shows the arrangement of the wells studied in this sec-
tion. The flow is directed along positive y axis and the distance be-
tween wells is 30 meters (Table 1).
The implemented algorithm in Matlab software allows to
• obtaining the values of stagnation points in function of R
0
[m]
(Table 4)
• compute the complex coefficients knowing hydrogeological and
geometrics parameters (Table 1-2)
• obtaining the capture zone coordinates computing (1.5b)
Table 4 shows stagnation points with different flow rates Q =
2[l/s] e Q = 7 [l/s] as shown in Tab. 3.
a
rrangement
2-3: “m”
non
Co
-
linear
well
for
different
extraCtion
rate
Q
A different well location, moving B and D wells respectively
along y-axis, at first about 5 meters (arrangement 2), at last about
15 meters, is studied for improving the pump-and-treat system
(1.7)
Tab. 4 - Punti di stagnazione in funzione della variazione di R
0
[m] per una barriera lineare
- Stagnation points function to variation of R
0
[m] for a co-linear barrier
background image
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di stagnazione avviene nello stesso modo visto precedentemente, ma
apportando piccole modifiche ai parametri moltiplicativi della funzio-
ne complessa in z. Il sistema di equazioni (1.6-1.7) viene riscritto con
differenti coefficienti della (1.7) che dipendono in questo caso anche
dalle coordinate b dei pozzi posti lungo l’asse immaginario y (si veda-
no le Fig. 3-4), ed hanno l’espressione generale riportata nella (1.7):
Si sono calcolati così i punti di stagnazione anche per le due con-
figurazioni geometriche complesse, sempre in funzione di R
0
[m] dal-
la Tab. 3; i valori sono riportati nelle Tab. 5 e Tab. 6:
La figura 5 mostra i punti di stagnazione al variare del raggio R
0
.
zone capture. The computation of stagnation points takes place in
the same way presented in the previous section, making some small
changes to the complex multipliers parameters in z function. The
(1.6-1.7) is rewritten with different coefficients that also depends on
b coordinate of wells moved along the positive y-axis (see Figure
3-4). The parameters have general expression seen in (1.7).
The stagnation points are computed also for the complex geo-
metric arrangement, depending on R
0
[m] from Tab. 3; the values are
carried over the Tab. 5 and Tab. 6:
The figure 5 shows the stagnation points behavior increasing flow
rate in arrangement 3.
Tab. 5 - Punti di stagnazione in funzione della variazione di
R
0
[m]
, b = 5 m per una barriera a “M”
- Stagnation points function to variation of R
0
[m] for a “M” barrier with b = 5 meters
Tab. 6 - Punti di stagnazione in funzione della variazione di R
0
[m], b = 15 m per una barriera a “M”
- Stagnation points function to variation of R
0
[m] for a “M” barrier with b = 15 meters
Fig. 5 - Andamento dei punti di stagnazione al va-
riare del raggio di influenza R
0
[m] (Tab.6)
per una barriera a “M” con b = 15 m
- Behavior of stagnation points with differ-
ent rate flow R
0
[m] (Tab. 6) for a “M”
barrier with b = 15 m
background image
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26
L. COLOMBO, M. CANTONE, L. ALBERTI & V. FRANCANI
Appare evidente che in questa situazione si vengono a sovrapporre
le depressioni piezometriche dei tre pozzi centrali aumentando la portata
e quindi il raggio R
0
, in una ristretta area intorno all’asse y. Il punto di
stagnazione si colloca lungo l’asse y come in figura 5. Con l’aumentare
dell’entità delle portate dei tre pozzi, questo punto si sposta sempre più a
valle della barriera, in quanto si amplia gradualmente l’area di sovrappo-
sizione delle depressioni dei tre pozzi. La sovrapposizione delle depres-
sioni del pozzo centrale (pozzo A) e di quello laterale (pozzo B) genera
un punto di stagnazione secondario,come accade per i pozzi A e D e per
il pozzi B,C da un lato e D,E dall’altro. Si ha quindi un punto di stagna-
zione principale lungo l’asse y, dovuto alla sovrapposizione dei tre pozzi
centrali e quattro punti secondari dovute alle coppie di pozzi adiacenti.
L’aumentare delle portate porta a una depressione piezometrica
unica, somma di quelle di tutti e cinque i pozzi.
CONfRONTO CON UN MODELLO NUMERICO
Per validare la formula analitica e i risultati ottenuti mediante
l’algoritmo implementato in Matlab, occorre validare le soluzioni
rese dal modello analitico mediante un modello numerico, Modflow,
sviluppato dall’U.S.G.S. (m
c
d
onald
, H
arbaugH
, 1988). Il modello è
stato discretizzato con una griglia le cui righe (204) e le colonne (363)
sono distanziate tra loro da 100 metri a 1 metro, nella zona dove è
collocata la barriera di pozzi (come mostrato in Fig. 6).
Le condizioni al contorno per ottenere lo stesso gradiente idrau-
lico descritto nella Tabella 2 sono quelle di carico costante (122 m
s.l.m. a sud e 112.2 m s.l.m. a nord). Il modello prevede un solo layer
(quota bottom 30 m s.l.m., quota top 100 m s.l.m.), e i pozzi sono stati
inseriti come “Analtyical element”. I parametri idrogeologici usati in
Matlab sono stati replicati in Modflow (Tab. 2), con lo scopo di effet-
tuare un confronto tra i risultati dei due modelli e calcolare l’errore
percentuale nello spazio x, y.
Anche in Modflow come nella formula analitica, il punto di sta-
gnazione corrispondente al pozzo centrale A si allontana rapidamente
dall’origine degli assi lungo l’asse y all’aumentare del parametro R
0
[m]. E’ stato riscontrato che le differenze percentuali tra i modelli
sono intorno al 3-4 ‰ e gli errori maggiori si osservano sulle coor-
dinate delle ascisse piuttosto che in quelle delle ordinate. Il modello
analitico permette quindi di trovare in maniera precisa e speditiva i
valori delle coordinate dei punti di stagnazione.
It can be observed that, increasing flow rate Q, near the axis y
the superposition of piezometric depression of three central wells oc-
curs. The stagnation point is located along y-axis as shown in Fig.
5. Increasing the rate Q , this point moves downstream barrier , as a
consequence of the widening of the superposition area of three central
wells . The superposition of central well (A) and of lateral one (B) de-
pression, produces a secondary stagnation point, as it is observed for
well A-D and B-C from one side and on the other side, wells D-E. A
main stagnation point is engendered on y-axis due to superposition of
three central wells depression and also 4 secondary stagnation points
are caused by pairs of external wells.
Increasing flow rate, a unique piezometric depression is formed
as the sum of all wells superposition near the y-axis.
VALIDATION WITH A NUMERICAL MODEL
To evaluate both the analytical formulation and the results ob-
tained with the Matlab algorithm, it is necessary, at first, to evaluate
the analytical solutions with a numerical model as Modflow devel-
oped by U.S.G.S (m
c
d
onald
mg, H
arbaugH
AW, 1988). The model
is implemented with grid whose column (363) and row (204) spacing
are from 100 meters to 1 meter in the well barrier area (as in Fig. 6).
The boundary conditions, representing the same gradient as showed
in Table 3, are constant head (122 m a.s.l. South and 112.2 m a.s.l. on
the North side). The model has only one layer (bottom -30 m a.s.l., top
10 m a.s.l.) and the wells are inserted as “Analytical element”. The
hydrological parameters used in Matlab are implemented in Modflow
software (Table 3). The purpose is to make a comparison between the
models results and compute a percentage error in the x, y space.
Both in Modflow software and in analytical formula, the stagna-
tion point nearby the central well A becomes more and more far away
from the origin increasing the flow rate or the parameter R
0
[m].
It can be seen that percentage errors between models are about
3-4 ‰ and errors on the x-axis are higher than ones in y-axis. The per-
centage errors are similar also in other arrangements with all the flow
rate tested. Instead, the analytical model allows to find in a precise
and fast way the coordinates values of stagnation points.
Fig. 6 - Griglia di discretizzazione del modello numerico. Le celle si rimpic-
cioliscono notevolmente nei pressi della barriera idraulica
- Grid implemented in the numerical model. The cell are more and
more thicken nearby the well barrier.
Tab. 7 - Errori percentuali tra le coordinate dei punti di stagnazione per R
0
=
3.98
[m] in una barriera piana
- Percentage errors in coordinates of stagnation points between ana-
lytical and numerical model for R
0
= 3.98 m in a co-linear barrier
background image
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COMPUTATION Of CAPTURE CURVE AND RESULTS
COMPARISON WITH A NUMERICAL MODEL
The geometry of capture curves depends of the superposition of
fronts of each well belonging to hydraulic system (Figure 2-3-4). The
more the curves of each well are overlapped, the more the pump-and-
treat system effect can involve a large part of aquifer downstream the
barrier, intercepting the most particles of pollution plume. For a better
comprehension of this problem, in this section a study about how the
superposition increases for wells that are in a non co-linear arrange-
ment is explained.
The analytical expression allows to have an approximate capture
curve for a hydraulic barrier. From 1.3, with some mathematical elab-
oration can be obtained
are simplified functions useful both for linear (b = 0) and non-linear
barrier with a different geometry (b ≠ 0). They depend on Ψ
j,s
con-
stant value, which can be computed through (1.5) replacing computed
stagnation points for each studying case.
From (1.8) for each x-value of real axis, for each stagnation point, it
is possible to derive y-values that are on the capture curve. The Matlab
solution has been developed: every x-input produces 5 different
y-val-
ues which only one can be considered valid and acceptable. The purpose
has been about highlighting different effects on groundwater watershed
changing wells position in a non co-linear configuration. Further the
analytical values have been compared to Modflow ones. The three dif-
ferent configurations are presented here with the same flow rate and dif-
ferent benefits can be seen with “M” respect to a linear one.
a
rrangement
1:
Co
-
linear
Capture
Curve
The (1.8) allows to trace the co-linear wells arrangement capture
curve as shown in the figure 7.
CALCOLO DELLO SPARTIACqUE PIEZOMETRICO
E VALIDAZIONE DEI RISULTATI CON UN MODEL-
LO NUMERICO
La forma della curva di cattura dipende dalla sovrapposizione più o
meno ottimale dei fronti di ogni singolo pozzo appartenente alla barrie-
ra idraulica (Fig. 2-3-4). Più le curve di ogni singolo pozzo si sovrap-
pongono e più l’effetto della barriera andrà ad interessare una porzione
di acquifero più estesa richiamando così quanto più inquinante possibi-
le. Per capire meglio come ciò sia possibile, è stata eseguita in questo
lavoro un’analisi su come la sovrapposizione degli effetti sia maggio-
re per pozzi che non siano disposti sulla stessa linea orizzontale. La
formula analitica permette, dopo numerosi calcoli, di avere una curva
approssimativa della cattura di un sistema di contenimento idraulico. A
partire dalla 1.3, con successive elaborazioni matematiche si ottiene:
dove / where
sono sottofunzioni valide sia per barriere lineari (b = 0) sia per barriere
disposte con geometrie differenti (b ≠ 0) e dipendono dalla costante
Ψ
j,s
.
Quest’ultima può essere agevolmente calcolata per mezzo della (1.5),
sostituendovi i punti di stagnazione calcolati per ciascun caso da studiare.
A partire dalla (1.8), per ogni valore di x appartenete all’asse reale,
partendo dal valore di ciascun punto di stagnazione, è possibile ricavare
i valori di
y come appartenenti all’equazione della curva di cattura (1.8).
Ogni input produce 5 differenti valori di y, dei quali solo uno è ritenuto
essere valido ed accettabile. Questo calcolo è stato fatto per la barriera
sia lineare che quella di forma geometrica complessa per vedere se in
effetti il fronte di cattura cambia con la posizione dei pozzi avanzati ri-
spetto l’orizzontale. Inoltre è stato possibile confrontare i valori ottenuti
con il modello analitico con quelli invece ottenuti con Modflow.
Vengono riportate le tre differenti configurazioni (Fig.7 - Fig. 8 -
Fig. 9), con la medesima portata di estrazione (sono rappresentate le
curve con la portata estrattiva massima) e si possono osservare così
i diversi benefici che si hanno nell’avere la barriera disposta con una
geometria ad “M”.
C
onfigurazione
1:
fronte
di
Cattura
per
una
barriera
rettilinea
La formula (1.8) permette di delineare la curva di cattura della
barriera rettilinea, come mostrato nella seguente Figura 7.
y
5
+
Ay
4
+
By
3
+
Cy
2
+
Dy
+
E
=
0
(1.8)
background image
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A linear arrangement of wells allows to capture polluted particles
with a zone larger than 120 meters and with an about 40 meters ficti-
tious radius. In the central interval between B and D wells, from the
fact that the A well coordinates are (0,0) the Ψ constant value results
divergent, causing a bad solution in computation of y-coordinate. The
result for the capture zone computed with Modflow numerical code
has been compared with the analytical solution; the red capture zone
generated by numerical modeling (Figure 7) is the more satisfying in
the stretch where constant Ψ tends to zero-value.
Figure 7 shows that the two capture zones are similar and they can
be compared to. For this purpose, the errors between the two model
have been calculated, obtaining a value about 0.50% corresponding
to the most critical zone (-30 < x < 30).
a
rrangement
2-3: “m”
Capture
Curve
Moving B and D wells downstream, the results for a non co-linear
barrier have been plotted, showing the positive effects on the width
of zone.
The comparison with Modflow shows that, also in this particular
case the capture zone computed with the analytical method has the
errors nearby the central well where the percentage value is, however,
less than 0,5%. The (1.8) allows to have a good approximation, in a
quick calculation of the capture curve with complex geometry; the
possibility to have an analytical solution faster than a numerical one
allows to obtain in a preliminary way some information about where
locate correctly some monitoring point downstream the barrier-
Also in these arrangements percentage errors between two analyt-
ical and numerical models are greater nearby the origin of reference
system and they don’t exceed 0.60%. A comparison of three capture
curve for three different arrangements is shown in next figure (8).
DISCUSSION Of RESULTS
The knowledge of the capture curve allows to evaluate prelimi-
nary in the planning stage of an hydraulic barrier where the monitor-
ing points can be correctly located, and to avoid some disservice:
Una configurazione lineare di pozzi consente di catturare inqui-
nante in una zona più larga di 120 metri, con un raggio fittizio ap-
prossimativamente di 40 metri. Nella zona centrale tra il pozzo B
e il pozzo D, a causa del fatto che le coordinate del pozzo A sono
(0,0), il valore costante Ψ risulta divergente, alterando il calcolo della
coordinata y. Il risultato per la zona di cattura ottenuta con il softwa-
re Modflow è stata comparata con la soluzione analitica: la zona di
cattura disegnata in rosso (Fig. 7) è la soluzione migliore ottenuta dal
modello analitico quando il valore costante Ψ tende a zero.
La figura 7 mostra che le due zone di cattura, quella ottenuta dal
modello analitico e quella ottenuta dal modello numerico, sono si-
mili tra loro e possono essere confrontate. A questo scopo, sono stati
calcolati gli errori tra i due modelli, ottenendo un valore intorno a
0.50%, corrispondente alla zona più critica (-30 < x < 30).
C
onfigurazione
2-3:
fronte
di
Cattura
barriera
a
“m”
Spostando i pozzi B e D a valle, si sono volute rappresentare le curve
di cattura vedendo come la copertura del fronte sia maggiore con l’avan-
zamento di questi ultimi rispetto la disposizione lineare della barriera.
Il confronto con Modflow mostra come anche in questo caso la
curva di cattura ottenuta con il metodo analitico abbia errori solo in cor-
rispondenza del pozzo centrale in cui gli errori arrivano però non oltre
allo 0,5%. La formula (1.8) permette quindi di ottenere con buona ap-
prossimazione, in maniera speditiva e preliminare il fronte di cattura di
una barriera idraulica con geometria complessa; la possibilità di avere
una soluzione analitica speditiva e più veloce di una numerica permette
di ottenere in via preliminare informazioni su dove poter posizionare
correttamente eventuali punti di controllo a valle della barriera stessa.
Anche in queste configurazioni gli errori percentuali tra il modello nu-
merico e il modello analitico sono maggiori vicino all’origine del sistema
di riferimento, e comunque non superano lo 0.60%. Un confronto tra le tre
curve di catture per le tre differenti configurazioni è mostrato nella Fig.8.
DISCUSSIONE DEI RISULTATI
La conoscenza dei fronti di cattura permette di valutare preliminar-
mente in fase di progettazione di una barriera idraulica dove ubicare
correttamente a valle eventuali punti di controllo per il monitoraggio
Fig. 7 - Confronto fronte di cattu-
ra analitico (in nero) con
fronte di cattura numerico
( in rosso)
- Comparison analytical
(black) and numerical
(red) capture curve
background image
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e.g. in barrier design it must pay attention if the capture curve is too
large downstream, including superficial water bodies, or piezometric
depressions of other wells. On the other hand, the widening can be
required when it needs to include in capture zone some hot spots of
contaminants lying downstream. In this way, it can see the behavior
of the stagnation points in function to the flow rate (Fig. 9).
The figure 9 shows better the different behavior in 1-3 arrange-
ments (see Tab. 1): while in the first arrangement (Fig. 2), the behav-
ior is quite linear, in the second one ( Fig. 4) there are two trends: the
first linear where the y-coordinate of central well A is lower than B
and C (in this situation the particles are captured by the central well
only upstream) and the second parabolic where y-coordinate of well
A becomes greater and greater (the particles are captured not only
upstream but also downstream). So, the analytical model is a prelimi-
nary method about how locate the hydraulic wells system for capture
and treat contaminated water defending critical areas with same hy-
drogeological parameters of numerical model In the previous figure
degli inquinanti, evitando quindi possibili malfunzionamenti: ad esem-
pio nella progettazione della barriera si deve prestare attenzione se la
curva di cattura è troppo estesa a valle, intercettando corpi idrici super-
ficiali o depressioni di altri pozzi piezometrici. L’allargamento del fron-
te però, può essere utile quando si vuole includere nella zona di cattura
alcuni punti di forte inquinamento ubicati a valle della barriera stessa.
In questo caso, è possibile analizzare il comportamento dei punti
di stagnazione in funzione della portata (Fig. 9).
La figura 9 permette di osservare meglio il diverso comportamento
nelle due configurazioni 1 e 3 (Tab. 1); mentre nella prima configura-
zione (Fig. 2) il comportamento è approssimativamente lineare, nella
seconda configurazione (Fig. 4)è possibile riconoscere due andamenti:
il primo lineare dove la coordinata del pozzo centrale A è minore di
quella dei pozzi B e C (in questa configurazione, l’inquinante è cat-
turato unicamente dal pozzo centrale a monte), il secondo parabolico
dove la coordinata y del pozzo A cresce (l’inquinante viene catturato
non solo da monte, ma anche da valle della barriera). Il modello anali-
Fig. 8 - Confronto fronte di cattura
analitico nelle tre differenti
configurazioni con Q = 7
[l/s]. Il fronte maggiore è
quello con i pozzi disposti
secondo la configurazione 3
- Comparison of capture
analytical curve in three
different
arrangements
with Q = 7 [l/s]: the higher
capture is obtained with ar-
rangement 3
Fig. 9 - Differenti andamenti dei punti di stagnazione in un grafico Q/Y; sulla sinistra l’andamento per la configurazione 1, sulla destra per la configurazione 3
- Different trends in a Q/y-stagnation plotting: the first one is for arrangement 1 the second for the 3
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SOLUZIONI ANALITICHE PER LA DETERMINAZIONE DELLO SPARTIACqUE PIEZOMETRICO DELLA ZONA DI CATTURA DI UNA BARRIERA DI POZZI
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L. COLOMBO, M. CANTONE, L. ALBERTI & V. FRANCANI
9 it can see that the y-coordinate of the stagnation point of the central
well both in arrangement 1 and in arrangement 3 becomes greater
increasing the flow rate.
The changeover from the first behavior to second one represented
in Fig.9 and shown in Fig. 10, is where the y-coordinate of well A,
becomes greater than those of well D.
If R
0
[m] values overcome about 13.50 m (about 7 l/s per well in
proposed arrangement), an higher values of the coordinate of central
stagnation point becomes so far away the barrier that the pollutants
particle come back upstream to the central well as shown in figure 11.
As said previously, this is an advantage for capturing if there are not
boundary as water bodies or other depression. As it can be seen in the
tico, con gli stessi parametri idrogeologici usati nel modello numerico,
risulta quindi un metodo speditivo per il giusto posizionamento del si-
stema idraulico per la cattura dell’acqua contaminata e per la difesa di
aree critiche. Nella precedente figura 9, si può vedere che la coordinata
y del punto di stagnazione del pozzo centrale sia per la disposizione 1
che per la 3, cresce sempre più aumentando la portata.
Il passaggio dal primo al secondo comportamento rappresentato
nella Fig. 9 e mostrato in Fig. 10 si ha quando la coordinata y del
pozzo A diventa maggiore rispetto alla coordinata y del punto D. In
questo caso, collocando una serie di punti di monitoraggio a valle della
barriera, è possibile riscontare dei valori di concentrazione di inqui-
nante non reali, a causa del richiamo dei pozzi dalla direzione di valle.
Fig. 10 - Vettori di velocità prima e dopo il
cambiamento di posizione dei punti di
stagnazione a) barriera in funzione con
5 l/s per pozzo b) barriera in funzione
con 10 l/s per pozzo. I pozzi sono se-
gnati con le croci, i punti di stagnazio-
ne sono curve di velocità molto basse
( minori di 10
-7
m/s), la direzione del
flusso è perpendicolare alla barriera
- The velocity vectors before and af-
ter the change of position stagnation
points.a) barrier with flow rate 5 l/s
par well b) barrier with flow rate 10
l/s. The wells are indicated as a cross-
shaped, stagnation points are the blue
lines with low velocity (10
-7
m/s). The
groundwater flow is from the bottom to
the top of aquifer figure.
background image
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Italian Journal of Engineering Geology and Environment, 2 (2012)
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Fig. 11, if a monitoring well is located downstream to the barrier but
upstream to the central stagnation point, it can measure a non-real
concentration due to the attraction of the central well.
CONCLUSION
In this paper an analytical method for computing the capture
zones also with complex geometry has been introduced. The pre-
sented algorithm allows to compute quickly the capture curve for
non-linear geometries; an explicit equation is given to compute the
capture curve of an hydraulic barrier, starting with the knowledge
of wells position in the aquifer and the parameters of groundwater
(flow velocity, thickness of aquifer and extraction/injection flow
rate). This formula allows to place 5 wells in a casual position in
the complex plane x, y. In this way, it is possible, without using any
numerical model, to have an idea to optimize the capture curve of
a barrier. It is possible to see that a linear barrier works well with
some particular conditions (J
avandel
& t
Sang
1984) as an horizon-
tal uniform flow and optimal wells distance (c
HriSt
& g
oltz
2002);
when the groundwater flow is perpendicular to the barrier, the de-
signer must pay attention to maintain a critical distance between
wells, as there must be a superposition between the linear wells;
in fact, using a shorter distance than optimal one for N = 5 wells,
Se R
0
[m] supera il valore di 13.50 m (che si ottiene nella configu-
razione proposta con circa 7 l/s per pozzo), il valore sempre più elevato
della coordinata in ordinata del punto di stagnazione centrale cresce al-
lontanandosi sempre più dalla barriera, richiamando al pozzo inquinante
proveniente a valle della barriera. Come detto precedentemente, questo
può essere un vantaggio per la cattura ma solo nel caso in cui la barriera
non intercetta corpi superficiali né depressioni già esistenti. Come si
può vedere nella Fig. 11, se un pozzo di monitoraggio viene posizionato
a valle della barriera ma a monte del punto di stagnazione centrale, esso
può fornire misure ed indicazioni sull’inquinante non reali.
CONCLUSIONI
In questo lavoro è stato presentato un valido metodo analitico per
calcolare la zona di cattura anche con geometrie complesse. L’algo-
ritmo presentato permette un calcolo speditivo della curva di cattura
per geometrie non lineari di pozzi barriera; è stata fornita anche una
equazione esplicita per poter calcolare, a partire dalla conoscenza del-
la posizione dei pozzi nell’acquifero, e delle grandezze dell’acquifero
(velocità di flusso, spessore dell’acquifero e portata estraibile/iniet-
tabile dei pozzi) la curva di cattura della barriera da progettare. Tale
formula permette il posizionamento di 5 pozzi in qualsiasi posizione
nello spazio complesso x, y. E’ possibile così, evitando di utilizzare
programmi di calcolo più complessi, avere una idea di massima per
ottimizzare la barriera per la cattura del fronte di inquinamento. Si
è potuto infatti vedere come una barriera lineare funziona bene con
particolare condizioni (J
avandel
& t
Sang
, 1984) di flusso orizzontale
rispetto la barriera pozzi e con una interdistanza ottimale tra i pozzi
stessi (c
HriSt
& g
oltz
, 2002); quando il flusso di falda risulta esser
perpendicolare rispetto alla barriera da progettare, il progettista deve
Fig. 11 - Vettori di velocità e posizione dei
punti di stagnazione con portata di
10 l/s per pozzo. I pozzi sono segnati
con le croci, i punti di stagnazione
sono curve di velocità molto basse (
minori di 10
-7
m/s), la direzione del
flusso è perpendicolare alla barriera
- The velocity vectors and the position
of stagnation points with 10 l/s par
well. The wells are indicated as a
cross-shaped, stagnation points are
the blue lines with low velocity (10
-
7
m/s). The groundwater flow is from
the bottom to the top of aquifer figure
background image
SOLUZIONI ANALITICHE PER LA DETERMINAZIONE DELLO SPARTIACqUE PIEZOMETRICO DELLA ZONA DI CATTURA DI UNA BARRIERA DI POZZI
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L. COLOMBO, M. CANTONE, L. ALBERTI & V. FRANCANI
there are some zones where superposition does not occur. In this
configuration, the hydraulic barrier is more vulnerable and it cannot
work perfectly. To validate computed result with analytical formula,
a model is implemented in Modflow with the same hydrogeological
properties. The comparison shows satisfactory results:
- The stagnation points computed with analytical formula (1.7)
have a model error less than 3-4‰. Knowing the geometric para-
meters of the barrier, for different ratio Q/2πUB, it is possible to
obtain the stagnation point of barrier in a preliminarily way.
- The capture zone calculated with analytical formula (1.8) is a
good adaptation to that with numerical one; the biggest errors,
that are about 0.6 % , are localized nearby the axis origin of re-
ference system. This is due to the position of A well at the axis
origin where the function Ψ becomes greater and greater.
- The positioning of wells passing from the arrangement 1 (b=0
meters) to the arrangement 3 (b=15 meters) allows a greater
coverage to downstream; the barrier geometry, moving forward
wells along positive direction of y-axis, allows a suitable bar-
rier for the containment of groundwater pollution plumes. The
knowledge of the position of stagnation point is important due
to the fact that it can design a good position for monitoring
pollution point.
The analytical method allows to know the zero-velocity points
in a 5 wells arrangement, in a precise and fast way. The errors com-
puted as the difference between absolute spatial coordinates values
of stagnation points are not significant; this method can firstly help
the hydraulic barrier designer for pollution containment, with right
parameters as flow rate and geometric disposition as some monitor-
ing pollution wells location.
prestare molta attenzione a mantenere una distanza critica tra i pozzi,
affinchè si verifichi la sovrapposizione degli effetti tra i pozzi giacenti
sulla stessa linea; difatti, usando una distanza di poco inferiore alla
distanza supposta ottimale per N = 5 pozzi esistono alcune zone in cui
la sovrapposizione degli effetti non avviene, rendendo così la barriera
idraulica molto vulnerabile e non perfettamente funzionante allo sco-
po cui è stata progettata. Per validare i risultati ottenuti con la formula
analitica, è stato implementato un modello, a parità di proprietà idro-
geologiche in Modflow. I risultati ottenuti sono soddisfacenti:
- I punti di stagnazione calcolati con la formula analitica (1.7) han-
no un errore di modello non superiore al 3-4‰. Si può quindi a
partire dalla conoscenza delle grandezze geometriche della bar-
riera e per differenti valori del raggio fittizio, ottenere in via del
tutto preliminare i punti di stagnazione della barriera idraulica
- Il fronte di cattura ottenuto con la formula analitica (1.8) ben si
adatta a quello ottenuto con il modello numerico; gli errori più
consistenti, che si aggirano intorno allo 0.6 % sono localizzati
nella zona intorno all’origine degli assi. Ciò è dovuto al posizio-
namento del pozzo A, nell’origine degli assi, in cui la funzione Ψ
di uguale flusso spesso non converge.
- Il posizionamento dei pozzi passando da una configurazione di tipo
1 (con b=0 m) ad una di tipo 3 (con b=15 m) permette una maggio-
re copertura a valle oltre che marginalmente alla barriera stessa; la
geometria della barriera, con l’avanzamento di pozzi lungo l’asse
y verso valle, permette la progettazione di barriere a favore di sicu-
rezza per il contenimento di eventuali inquinanti presenti in falda.
La conoscenza della posizione dei punti di stagnazione è importan-
te per la giusta ubicazione di pozzi di monitoraggio.
Il metodo analitico quindi permette di conoscere i punti di stagna-
zione di una barriera con 5 pozzi, in modo veloce e preciso. Gli errori
che sono stati calcolati come differenza tra i valori assoluti delle co-
ordinate spaziali dei punti di stagnazione risultano molto bassi: tale
metodo quindi può in prima approssimazione guidare il progettista
di barriere idrauliche per il contenimento di inquinanti, con adeguate
portate e posizionamento dei pozzi affinché si possano posizionare
preventivamente pozzi di monitoraggio per il plume di inquinante.
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Received May 2012 - Accepted November 2012
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